Question

已知：如图，在直角坐标系中，直线AB交y轴于点A，交x轴于点B，其解析式为y=-

3

4

x+2．又O₁是x轴上一点，且⊙O₁与直线AB切于点C，与y轴切于原点O．
（1）求点C的纵坐标；
（2）以AO为直径作⊙O₂，交直线AB于D，交⊙O₁于N，连ON并延长交CD于G，求△ODG的面积；
（3）另有一圆过点O₁，与y轴切于点O₂，与直线AB交于M、P两点，求证：O₁M•O₁P=2．

Answer 1

分析：（1）由解析式解出两点的坐标，过C点作CH垂直x轴，进而求纵横坐标．
（2）设直线AB与⊙O₂的交点为D连接两点，求出CD，然后求出DG，从而求出面积．
（3）连接O₁C，设⊙O₁半径为r，由相似定理，进而证明．

解答：（1）解：由y=-

3

4

x+2，得OA=2，OB=

8

3

∴AB=

10

3

，
由AC=2，得CB=

4

3

，
过C点作CH⊥x轴，垂足为H，得CH∥y轴，
则

CH

AO

=

CB

AB

，
CH=

4

5

，即点C的纵坐标为

4

5

．

（2）解：∵OA为⊙O₂的直径，
∴OD⊥AB，
由OD•AB=OA•0B，得OD=

8

5

，
则AD=

AO2-OD2

=

6

5

，
CD=2-

6

5

=

4

5

．
设DG=x，由切割线定理得GD•GA=GN•GO．
∴x（x+

6

5

）=（

4

5

-x）²．解得：x=

8

35

，∴DG=

8

35

，
∴S_△ODG=

1

2

OD•DG=

32

175

．

（3）证明：连接O₁C，设⊙O₁半径为r，
将C点纵坐标

4

5

代入y=-

3

4

x+2，得x=

8

5

，
∴OH=

8

5

，O₁H=

8

5

-r．
在Rt△CHO₁中，由勾股定理得(

4

5

)2=r2-(

8

5

-r)2，
解得：r=1．
故⊙O₁和⊙O₂都是半径为1的等圆，
过点O₁且与y轴切于点O₂的圆是以N为圆心，1为半径的圆．
作⊙N的直径O₁Q，连接PQ．O₁Q=2，O₁C=1．
∵∠PQO₁=∠CMO₁，
∴Rt△PQO₁∽Rt△CMO₁，
∴

O1Q

O1M

=

O1P

O1C

，
∴O₁M•O₁P=O₁Q•O₁C=2×1=2．

点评：本题主要考查一次函数的应用，本题比较烦，计算和证明都要仔细．