Question

同学们在学完解直角三角形的应用后，某合作学习小组用测倾器、皮尺测量了学校旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图所示）：
①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=30°；
②量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=20m；
③量出测倾器的高度AC=1m．
（1）根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN=

 

．（结果可以保留根号）
（2）如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图）的方案．要求：
（ⅰ）在图中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当字母）；
（ⅱ）写出你设计的方案．（测倾器的高度用h表示，其它涉及的长度用字母a、b、c…表示，涉及到的角度用α、β…表示，最后请给出计算MN的高度的式子）．

Answer 1

分析：（1）在RT△MCE中，知道30°角的邻边求对边，直接用正切值计算即可；
（2）构建两个直角三角形，利用仰角的正切进行解答．

解答：解：（1）在RT△MCE中，ME=CEtan30°=20×

3

3

，
又因为EN=AC=1，所以MN=1+

20 3

3

；

（2）
①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α；
②向前移动至点B，量出测点A到点B的水平距离AB=a；
③在测点B处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MDE=β；
④量出测倾器的高度AC=h．
∵设ME=x，
∴CE=

ME

tanα

，DE=

ME

tanβ

，
∴CD=CE-DE=

ME

tanα

-

ME

tanβ

=a，
∴ME=

a•tanα•tanβ

tanβ-tanα

，
根据上述测量数据，即可求出小山的高度：MN=h+

a•tanα•tanβ

tanβ-tanα

．

点评：本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．