Question

长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
（1）如果∠DEF=123°，求∠BAF的度数；
（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠DAB=90°，AD∥BC．
∴∠AEF=∠CFE．
∵∠DEF+∠AEF=180°，且∠DEF=123°，
∴∠AEF=57°，
∴∠CFE=57°．
∵四边形CDEF与四边形AGEF关于EF对称，
∴四边形CDEF≌四边形AGEF
∴∠G=∠C=∠D=∠GAF=90°．AG=CD，∠AFE=∠CFE．
∴∠AFE=57°．
∵∠BFA+∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠BFA=66°．
∵∠BFA+∠BAF=90°，
∴∠BAF=24°．
答：∠BAF的度数为24°；
（2）△ABF≌△AGE．
∵AG=CD
∴AB=AG．
∵∠BAE=90°，∠GAF=90°，
∴∠BAE=∠GAF，
∴∠BAE-∠EAF=∠GAF-∠EAF，
∴∠BAF=∠GAE．
在△ABF和△AGE中
，
∴△ABF≌△AGE（ASA）．
分析：（1）由轴对称的性质可以得出∠AFE=∠CFE，由邻补角的定义可以得出∠AEF的值，由平行线的性质可以求出∠AFB的值，进而得出结论；
（2）由矩形的性质可以得出AB=AG，∠B=∠G，由等式的性质可以得出∠BAF=∠GAE就可以得出△ABF≌△AGE．
点评：本题考查了矩形的性质的运用，轴对称的性质的运用，直角三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．