题目内容
【题目】已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A(α,0),B(β,0),且=﹣2,
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小?若存在,请画出图形(保留作图痕迹),并求出周长的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+2;(2)10+2;(3)(2﹣,4),(2+,4),(2﹣,﹣4),(2+,﹣4).
【解析】
试题分析:(1)利用根据与系数的关系得出α+β=,αβ=﹣2,进而代入求出m的值即可得出答案;
(2)利用轴对称求最短路线的方法,作点D关于y轴的对称点D′,点E关于x轴的对称点E′,得出四边形DNME的周长最小为:D′E′+DE,进而利用勾股定理求出即可;
(3)利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4,进而分别求出即可.
解:(1)由题意可得:α,β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根,由根与系数的关系可得,
α+β=,αβ=﹣2,
∵=﹣2,
∴=﹣2,即=﹣2,
解得:m=1,
故抛物线解析式为:y=﹣x2+4x+2;
(2)存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,
∵y=﹣x2+4x+2=﹣(x﹣2)2+6,
∴抛物线的对称轴l为x=2,顶点D的坐标为:(2,6),
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为:(0,2),点E与点C关于l对称,
∴E点坐标为:(4,2),
作点D关于y轴的对称点D′,点E关于x轴的对称点E′,
则D′的坐标为;(﹣2,6),E′坐标为:(4,﹣2),
连接D′E′,交x轴于M,交y轴于N,
此时,四边形DNME的周长最小为:D′E′+DE,如图1所示:
延长E′E,′D交于一点F,在Rt△D′E′F中,D′F=6,E′F=8,
则D′E′===10,
设对称轴l与CE交于点G,在Rt△DGE中,DG=4,EG=2,
∴DE===2,
∴四边形DNME的周长最小值为:10+2;
(3)如图2,P为抛物线上的点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,则△PHQ≌△DGE,
∴PH=DG=4,
∴|y|=4,
∴当y=4时,﹣x2+4x+2=4,
解得:x1=2+,x2=2﹣,
当y=﹣4时,﹣x2+4x+2=﹣4,
解得:x3=2+,x4=2﹣,
故P点的坐标为;(2﹣,4),(2+,4),(2﹣,﹣4),(2+,﹣4).