题目内容

 如图,已知抛物线轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及顶点M坐标;

(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PAC的周长最小,并求出点P的坐标;

(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点OC重合).过点DDEPC轴于点E.设CD的长为m,问当m取何值时,SPDE =S四边形ABMC.                                                  

解:(1)∵ 抛物线A(-1,0)、B(3,0)C(0,3)三点,

,解得 

∴ 抛物线的解析式为,顶点M为(1,4).         

(2)∵ 点AB关于抛物线的对称轴对称,

       ∴ 连结BC与抛物线对称轴交于一点,即为所求点P

       设对称轴与x轴交于点H

PHy轴,

∴ △PHB∽△CBO

       由题意得BH=2,CO=3,BO=3,

 ∴ PH=2.

P(1,2).                 

(3)∵ A(-1,0)B(3,0),C(0,3),M(1,4),

   ∴ S四边形ABMC=9.

∵ S四边形ABMC =9SPDE, ∴=1.

      ∵ OC=OD,∴∠OCB=∠OBC= 45°.

DEPC,∴∠ODE=∠OED= 45°.

OD=OE=3-m

∵ S四边形PDOE=

∴ SPDE= S四边形PDOE- SDOE=(0<m<3).

.解得,m1=1, m2=2.

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