题目内容

（2012•吴中区三模）己知点P（2，3）是反比例函数y=
k
x
图象上的点．
（1）求过点P且与反比例函数y=
k
x
图象只有一个公共点的直线的解析式；
（2）Q是反比例函数y=
k
x
图象在第三象限这一分支上的动点，过点Q作直线使其与反比例函数y=
k
x
图象只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于C、D两点，设（1）中求得的一直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．
①试判断AD、BC的位置关系；
②探索当四边形ABCD面积最小时，四边形ABCD的形状．
分析：（1）把P的坐标代入即可求出反比例函数的解析式，得出直线x=2和直线y=3符合题意，设第三条直线解析式为y=ax+b，把P（2，3）代入得出y=kx+3-2k，联立直线与反比例解析式得出方程kx2+（3-2k）x-6=0，根据根与系数的关系求出k，即可求出直线的解析式；
（2））①由（1）求出的直线y=-
3
2
x+6，求出A和B的坐标，得出OA=4，OB=6，设直线CD的解析式为y=mx+n，得出方程组
y=mx+n
y=
6
x
，消去y整理后求出-
n2
m
=24，求出OC•OD=OA•OB，得出
OA
OC
=
OD
OB
，即可得出平行；②设OC=t，则OD=
24
r
，根据S四边形ABCD=S△BCD+S△BDA得出S=3t+
48
t
+24，化成顶点式即可求出t，根据菱形的判定推出即可．
解答：（1）解：将P的坐标代入反比例解析式得：3=
k
2
，即k=6，
则反比例函数解析式为y=
6
x
，
显然直线x=2与直线y=3与反比例函数图象只有一个交点，满足题意；
设第三条直线解析式为y=ax+b，
∵把P（2，3）代入得：3=2k+b，
即b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
联立直线与反比例解析式得：
y=kx+3-2k
y=
6
x
，
消去y整理得：kx2+（3-2k）x-6=0，
由题意得到方程有两个相等的实数根，得到△=（3-2k）2+24k=（2k+3）2=0，
解得：k=-
3
2
，
故满足题意的第三条直线为y=-
3
2
x+6；

（2）①由（1）求出的直线y=-
3
2
x+6，令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，6），即OA=4，OB=6，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
则
y=mx+n
y=
6
x
只有一个解，
消去y整理得：mx2+nx-6=0，
△=n2+24m=0，
-
n2
m
=24，
OC•OD=
n
m
•（-n）=24=OA•OB，即
OA
OC
=
OD
OB
，
AD∥BC；
②设OC=t，则OD=
24
t
，
S四边形ABCD=S△BCD+S△BDA=
1
2
×（6+
24
t
）×r+
1
2
×（6+
24
t
）×4
=3t+
48
t
+24
=3（
t
-
4
t
）2+48，
则当
t
-
4
t
=0，即t=4时，四边形ABCD面积最小，
此时OA=OC=4，OB=OD=6，又AC⊥BD，
故四边形ABCD为菱形．
点评：本题综合考查了三角形的面积，反比例函数的解析式，平行线的性质和判定，菱形的判定，根的判别式，方程组等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大，对学生提出较高的要求．
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1
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π．
．

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