题目内容
【题目】如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若AB=3,BC=4,求四边形OCED的面积.
【答案】(1)见解析;(2)6
【解析】试题分析:
(1) 观察题目中的两组平行线易知,四边形OCED的两组对边分别平行,即四边形OCED是平行四边形. 在平行四边形的基础上若想证明其为菱形,则要么再证一组邻边相等要么再证对角线互相垂直. 继续观察图形可知,利用矩形ABCD的性质证明OC与OD相等是容易的. 因此,根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形OCED是菱形.
(2) 分析条件可知,在矩形ABCD中,AB=CD=3,线段CD恰好是菱形OCED的一条对角线,于是容易想到利用对角线乘积的一半去计算菱形的面积. 作出菱形的另一条对角线OE,利用菱形OCED的性质和矩形ABCD的性质可知OE∥BC,进而得到四边形OBCE为平行四边形,再利用平行四边形的性质可求得OE的长度. 在得到两条对角线的长度后,按菱形的面积公式即可得到四边形OCED的面积.
试题解析:
(1) 证明:∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC= ,OD= ,AC=BD,
∴OC=OD,
∴平行四边形OCED为菱形.
(2) 四边形OCED的面积为6. 求解过程如下.
连接OE,交CD于点G. (如图)
∵四边形OCED为菱形,
∴OE⊥CD,
∴∠OGD=90°,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠BCD=90°,
∴∠OGD=∠BCD,
∴OE∥BC,
∵CE∥BD,OE∥BC,
∴四边形OBCE为平行四边形,
∴OE=BC,
∵四边形ABCD为矩形,
∴CD=AB,
∵AB=3,BC=4,
∴CD=AB=3,OE=BC =4,
∴菱形OCED的面积为,
即四边形OCED的面积为6.