Question

如图1，点C、B分别为抛物线C₁：y₁=x²+1，抛物线C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C₁、C₂于点A、D，且AB=BD．
（1）求点A的坐标：
（2）如图2，若将抛物线C₁：“y₁=x²+1”改为抛物线“y₁=2x²+b₁x+c₁”．其他条件不变，求CD的长和a₂的值；
（3）如图2，若将抛物线C₁：“y₁=x²+1”改为抛物线“y₁=4x²+b₁x+c₁”，其他条件不变，求b₁+b₂的值______

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AC、BC，根据二次函数图象的对称性可得AC=BC，BC=BD，再根据已知条件AB=BD，可以证明得到△ABC是等边三角形，所以∠ACE=30°，然后设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长，再根据抛物线C₁：y₁=x²+1求出点C的坐标，从而表示出点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线C₁的解析式，然后解关于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到点A的坐标；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，设抛物线y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x-h₁）²+k₁，然后表示出C的坐标，再设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长度，从而得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线C₁，整理后解关于m的一元二次方程，再根据（1）的结论即可求出CD的长；根据CD的长求出CE的长度，然后表示出点B的坐标，根据点B在是抛物线C₂的顶点，从而得到抛物线C₂的顶点式解析式，然后根据点C在抛物线C₂上，把点C的坐标代入抛物线C₂的解析式，整理求解即可得到a₂的值；
（3）根据（1）（2）的结论可知，a₂=-a₁，然后利用两抛物线的对称轴表示出CD的长度，再根据（1）（2）的求解过程可得CD=2×，然后代入进行计算即可得解．
解答：解：（1）如图，连接AC、BC，设直线AB交y轴于点E，
∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C₁、C₂的顶点，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACE=30°，
设AE=m，
则CE=AE=m，
∵y₁=x²+1，
∴点C的坐标为（0，1），
∴点A的坐标为（-m，1+m），
∵点A在抛物线C₁上，
∴（-m）²+1=1+m，
整理得m²-m=0，
解得m₁=，m₂=0（舍去），
∴点A的坐标为（-，4）；


（2）如图2，连接AC、BC，过点C作CE⊥AB于点E，
设抛物线y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x-h₁）²+k₁，
∴点C的坐标为（h₁，k₁），
设AE=m，
∴CE=m，
∴点A的坐标为（h₁-m，k₁+m），
∵点A在抛物线y₁=2（x-h₁）²+k₁上，
∴2（h₁-m-h₁）²+k₁=k₁+m，
整理得，2m²=m，
解得m₁=，m₂=0（舍去），
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=，
∴CD=，
即CD的长为，
根据题意得，CE=BC=×=，
∴点B的坐标为（h₁+，k₁+），
又∵点B是抛物线C₂的顶点，
∴y₂=a₂（x-h₁-）²+k₁+，
∵抛物线C₂过点C（h₁，k₁），
∴a₂（h₁-h₁-）²+k₁+=k₁，
整理得a₂=-，
解得a₂=-2，
即a₂的值为-2；

（3）根据（2）的结论，a₂=-a₁，
CD=--（-）=+=，
根据（1）（2）的求解，CD=2×，
∴b₁+b₂=2．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称性，等边三角形的性质，二次函数的顶点式解析式与一般解析式之间的转化，对同学们的能力要求较高，灵活性较强，规律总结比较重要，总体而言，本题难度较大，是道难得的好题．