题目内容

如图把等边三角形各边4等分，分别连接对应点，试计算图中所有的三角形个数是

27

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．

分析：根据最小的等边三角形边长是1个单位，再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计得出答案．

解答：解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计：
边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10，
边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6，
边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6，
边长2单位，顶点在下的▽有：1，
边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3，
边长4单位，顶点在上的△有：1，
合计共27个，
故答案为：27．

点评：此题主要考查了平面图形中三角形的个数数法，根据三角形边长与方向列举出所有的结果是解题关键．

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如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在　　三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，试证明： $数学公式$ ．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于______；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A₁A₂…An内部任意一点P到各边的距离为r₁，r₂，…r_n，请问r₁+r₂+…r_n是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．

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