Question

某公司销售一种新型产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=-

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100

x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w_内（元），（利润=销售额-成本-广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

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x²元的附加费，设月利润为w_外（元），（利润=销售额-成本-附加费）．
（1）分别求出w_内，w_外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（2）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（3）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

Answer 1

分析：（1）根据“利润=销售额-成本-广告费”可求出w_内与x间的函数关系式，根据“利润=销售额-成本-附加费”可求出w_外与x间的函数关系式；
（2）先运用二次函数的性质求出w_内取最大值时x的值，再根据w_外的最大值等于w_内的最大值，列出关于a的方程，解方程即可求出a的值；
（3）先分别求出当x=5000时，w_内与w_外的值，再分w_内＜w_外，w_内=w_外，w_内＞w_外这三种情况进行讨论，即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）w_内=x（y-20）-62500=x（-

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100

x+150-20）-62500=-

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x²+130x-62500，
即w_内=-

1

100

x²+130x-62500，
w_外=x（150-a）-

1

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x²=-

1

100

x²+（150-a）x，
即w_外=-

1

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x²+（150-a）x；

（2）∵w_内=-

1

100

x²+130x-62500，
∴当x=-

130

2×(- 1 100 )

=6500时，w_内最大；
∵在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，
∴

0-(150-a)2

4×(- 1 100 )

=

4×(- 1 100 )×(-62500)-1302

4×(- 1 100 )

，
整理，得（150-a）²=14400，
解得a₁=30，a₂=270（不合题意，舍去）．
∴a=30．

（3）当x=5000时，w_内=-

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×5000²+130×5000-62500=337500，
w_外=-

1

100

×5000²+（150-a）×5000=-5000a+500000．
若w_内＜w_外，即当a＜32.5时，在国外销售才能使所获月利润较大；
若w_内=w_外，即当a=32.5时，在国内、外销售所获月利润一样大；
w_内＞w_外，即当a＞32.5时，在国内销售才能使所获月利润较大．

点评：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出w_内，w_外与x间的函数关系式是解题的关键．