题目内容
【题目】如图,直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点,连接BC,且.
(1)求点A的坐标及直线BC的函数关系式;
(2)点M在x轴上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45°时,求点M的坐标;
(3)若点P在x轴上,平面内是否存在点Q,使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(4,0),lBC: ;(2)M1(3,0),
;(3)Q1(-5,4),Q2(5,4), Q3(0,-4),Q4
.
【解析】试题分析: (1)首先求出A、B、C三点坐标,再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可.
(2)当点M在点A的左边时,可以证明BC=BM,OC=OM=3,推出M(3,0),作点M关于直线AB的对称点N,作直线BN交x轴于M1,则∠M1BA=∠MBA,点M1满足条件,求出直线BN的解析式即可解决问题.
(3)画出图形,分两种情形讨论即可①当BC为菱形的边时,四边形CP1Q1B,四边形CP3Q3B,四边形BCQ2P2是菱形,②当BC是菱形的对角线时,四边形CP4BQ4是菱形.
试题解析:
(1)对于直线y=x+4,令x=0的y=4,令y=0得x=4,
∴A(4,0),B(0,4),
∴OB=OA=4,
∵OC=OB,
∴OC=3,
∴C(3,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,则有,
解得,
∴直线BC的解析式为y=x+4.
(2)如图1中,
当点M在点A的左边时,
∵OB=OA=4,∠AOB=90°,
∴∠ABO=45°,
∴∠CBO+∠MBA=∠MBA+∠MBO=45°,
∴∠CBO=∠OBM,
∵∠CBO+∠BCO=90°,∠BMO+∠OBM=90°,
∴∠BCO=∠BMO,
∴BC=BM,OC=OM=3,
∴M(3,0),
作点M关于直线AB的对称点N,作直线BN交x轴于M ,则∠M BA=∠MBA,点M 满足条件.
∵N(4,1),B(0,4),
∴直线BN的解析式为y=x+4,令y=0,得x=
,
∴M (,0),
综上所述,满足条件的点点M的坐标为(3,0)或(,0).
(3)如图2中,
∵BC==5,
当BC为菱形的边时,四边形CPQB,四边形CPQB,四边形BCQP是菱形,此时Q (5,4),Q (5,4),Q (0,4),
当BC是菱形的对角线时,四边形是菱形,可得
(256,4).
综上所述,满足条件的点Q的坐标为(5,4)或(5,4)或(0,4)或(,4).
点睛:本题考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,注意一题多解,不能漏解,属于中考常考题型.
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