题目内容

18、证明:有无穷多个n,使多项式n2+n+41
(1)表示合数;
(2)为43的倍数.
分析:(1)先把原式化为n(n+1)+41的形式,再设n=41k或n=41k-1,代入代数式即可得到关于k的式子,由合数的定义即可解答;
(2)设n2+n+41=43k,(k是正整数),再把方程左边因式分解,由合数的定义即可解答.
解答:证明:(1)要使n(n+1)+41是合数.
则只要n(n+1)是41的倍数就可以.
要使n(n+1)是41的倍数,则n=41k或n=41k-1,
当n=41k(k为自然数)时,原式=41k2+41k++41=41(k2+k+1),
同理,当n=41k-1时,原式=41k2+41k++41=41(k2+k+1),
满足此条件的自然数k有无数个,所以对应的n也有无穷多个;
(2)使多项式n2+n+41为43的倍数,
设n2+n+41=43k,(k是正整数)
n2+n-2=43(k-1),
(n+2)(n-1)=43(k-1),
要使n(n+1)+41是43的倍数,
则只要(n+2)(n-1)是43的倍数就可以.
则n=43k-2或n=43k+1(k=0、1、2、3…),
当n=43k-2时,原式=(43k)2+3×43k+43=43(k2+3k+1),
同理可得,当n=43k+1时,原式=(43k)2+3×43k+43=43(k2+3k+1),
满足此条件的k有无穷多个,
故表示为43的倍数的n也有无穷多个.
点评:本题考查的是质数与合数,熟知合数的定义是解答此题的关键.
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