题目内容
已知x,y,z为非负实数,且满足x+y+z=30,3x+y-z=50.求u=5x+4y+2z的最大值和最小值.分析:将x+y+z=30,3x+y-z=50联立,得到y和z的关于x的表达式,再根据y,z为非负实数,列出关于x的不等式组,求出x的取值范围,再将u转化为关于x的表达式,将x的最大值和最小值代入解析式即可得到u的最大值和最小值.
解答:解:将已知的两个等式联立成方程组
,
所以①+②得,
4x+2y=80,y=40-2x.
将y=40-2x代入①可解得,
z=x-10.
因为y,z均为非负实数,
所以
,
解得10≤x≤20.
于是,
u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140.
当x值增大时,u的值减小;当x值减小时,u的值增大.
故当x=10时,u有最大值130;当x=20时,u有最小值120.
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所以①+②得,
4x+2y=80,y=40-2x.
将y=40-2x代入①可解得,
z=x-10.
因为y,z均为非负实数,
所以
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解得10≤x≤20.
于是,
u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140.
当x值增大时,u的值减小;当x值减小时,u的值增大.
故当x=10时,u有最大值130;当x=20时,u有最小值120.
点评:此题考查了一次函数最值的求法,将y、z的转化为关于x的表达式及求出x的表达式是解题的关键.
练习册系列答案
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已知m,n,k为非负实数,且m﹣k+1=2k+n=1,则代数式2k2﹣8k+6的最小值为( )
| A. | ﹣2 | B. | 0 | C. | 2 | D. | 2.5 |