题目内容

(2013•厦门质检)四边形ABCD中,对角线AC、BD的交点为O,
(1)如图1,若AD∥BC,AD=6,BC=4,求
AO
CO
的值;
(2)如图2,若四边形ABCD是矩形,过点B作BE⊥AC,垂足为E,当∠ACB=30°时,有AC=
3
BE+1
,求BC的长度.
分析:(1)先根据AD∥BC可知∠ACB=∠DAC,∠ADB=∠DBC,故可得出△AOD∽△COB,再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论;
(2)设BE=x,在Rt△BEC中,由∠ACB=30°可知BC=2BE=2x,在Rt△ABC中由cos∠ACB=
BC
AC
,可用x表示出AC的值,再根据AC=
3
BE+1可得出x的值,进而得出结论.
解答:解:(1)∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴△AOD∽△COB,
AO
CO
=
AD
BC
=
6
4
=
3
2


(2)设BE=x,在Rt△BEC中,
∵∠ACB=30°,
∴BC=2BE=2x,
在Rt△ABC中,
∵cos∠ACB=
BC
AC

∴cos30°=
2x
AC
=
3
2

∴AC=
BC
cos30°
=
4x
3
=
4
3
3
x,
又∵AC=
3
BE+1=
3
x+1,
4
3
3
x=
3
x+1,解得x=
3

∴BC=2x=2
3
点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解答此题的关键.
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