Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE．

（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD=CE．
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．）
（3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，

∵D为AC中点，

∴∠DBC=30°，AD=DC，

∵BD=DE，

∴∠E=∠DBC=30°

∵∠ACB=∠E+∠CDE，

∴∠CDE=30°=∠E，

∴CD=CE，

∵AD=DC，

∴AD=CE；

（2）证明：成立，

如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，

则∠ADF=∠ACB=60°，

∵∠A=60°，

∴△AFD是等边三角形，

∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，

∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°，

∵DF∥BC，

∴∠FDB=∠DBE=∠E，

在△BFD和△DCE中

∴△BFD≌△DCE，

∴CE=DF=AD，

即AD=CE．

（3）证明：（2）中的结论仍成立，

如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，

∵△ABC是等边三角形，

∴△APD也是等边三角形，

∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，

∵DB=DE，

∴∠DBC=∠DEC，

∵DP∥BC，

∴∠PDB=∠CBD，

∴∠PDB=∠DEC，

在△BPD和△DCE中，

∴△BPD≌△DCE，

∴PD=CE，

∴AD=CE．

【解析】（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案；（2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案．（3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．