题目内容
【题目】在△ABC和△DEC中,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°
(1)如图1,当点A、C、D在同一条直线上时,AC=12,EC=5
①求证:AF⊥BD ②求AF的长度;
(2)如图2,当点A、C、D不在同一条直线上时,求证:AF⊥BD;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CF并延长CF交AD于点G,∠AFG是一个固定的值吗?若是,求出∠AFG的度数;若不是,请说明理由
【答案】
(1)①证明:如图1,
在△ACE和△BCD中,
∵ ,
∴△ACE≌△BCD,
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠4,
∴∠BFE=∠ACE=90°,
∴AF⊥BD.
②∵∠ECD=90°,BC=AC=12,DC=EC=5,
∴BD= =13,
∵S△ABD= ADBC= BDAF,
即
∴AF=
(2)证明:如图4,
∵∠ACB=∠ECD,
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△ACE≌△BCD中
∴△ACE≌△BCD,
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠4,
∴∠BFA=∠BCA=90°,
∴AF⊥BD
(3)∠AFG=45°,
如图3,过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M、N,
∵△ACE≌△BCD,
∴S△ACE=S△BCD,AE=BD,
∵S△ACE= AECN,
S△BCD= BDCM,
∴CM=CN,
∵CM⊥BD,CN⊥AE,
∴CF平分∠BFE,
∵AF⊥BD,
∴∠BFE=90°,
∴∠EFC=45°,
∴∠AFG=45°
【解析】(1)①证明△ACE≌△BCD,得到∠1=∠2,由对顶角相等得到∠3=∠4,所以∠BFE=∠ACE=90°,即可解答;②根据勾股定理求出BD,利用△ABD的面积的两种表示方法,即可解答;(2)证明△ACE≌△BCD,得到∠1=∠2,又由∠3=∠4,得到∠BFA=∠BCA=90°,即可解答;(3)∠AFG=45°,如图3,过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M、N,由△ACE≌△BCD,得到S△ACE=S△BCD , AE=BD,证明得到CM=CN,得到CF平分∠BFE,由AF⊥BD,得到∠BFE=90°,所以∠EFC=45°,根据对顶角相等得到∠AFG=45°.