题目内容

【题目】在△ABC和△DEC中,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°
(1)如图1,当点A、C、D在同一条直线上时,AC=12,EC=5
①求证:AF⊥BD ②求AF的长度;

(2)如图2,当点A、C、D不在同一条直线上时,求证:AF⊥BD;

(3)如图3,在(2)的条件下,连接CF并延长CF交AD于点G,∠AFG是一个固定的值吗?若是,求出∠AFG的度数;若不是,请说明理由

【答案】
(1)①证明:如图1,

在△ACE和△BCD中,

∴△ACE≌△BCD,

∴∠1=∠2,

∵∠3=∠4,

∴∠BFE=∠ACE=90°,

∴AF⊥BD.

②∵∠ECD=90°,BC=AC=12,DC=EC=5,

∴BD= =13,

∵SABD= ADBC= BDAF,

∴AF=


(2)证明:如图4,

∵∠ACB=∠ECD,

∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD,

∴∠BCD=∠ACE,

在△ACE≌△BCD中

∴△ACE≌△BCD,

∴∠1=∠2,

∵∠3=∠4,

∴∠BFA=∠BCA=90°,

∴AF⊥BD


(3)∠AFG=45°,

如图3,过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M、N,

∵△ACE≌△BCD,

∴SACE=SBCD,AE=BD,

∵SACE= AECN,

SBCD= BDCM,

∴CM=CN,

∵CM⊥BD,CN⊥AE,

∴CF平分∠BFE,

∵AF⊥BD,

∴∠BFE=90°,

∴∠EFC=45°,

∴∠AFG=45°


【解析】(1)①证明△ACE≌△BCD,得到∠1=∠2,由对顶角相等得到∠3=∠4,所以∠BFE=∠ACE=90°,即可解答;②根据勾股定理求出BD,利用△ABD的面积的两种表示方法,即可解答;(2)证明△ACE≌△BCD,得到∠1=∠2,又由∠3=∠4,得到∠BFA=∠BCA=90°,即可解答;(3)∠AFG=45°,如图3,过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M、N,由△ACE≌△BCD,得到SACE=SBCD , AE=BD,证明得到CM=CN,得到CF平分∠BFE,由AF⊥BD,得到∠BFE=90°,所以∠EFC=45°,根据对顶角相等得到∠AFG=45°.

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