题目内容
(2013•徐州)如图,二次函数y=
x2+bx-
的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标:
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
1 |
2 |
3 |
2 |
(1)请直接写出点D的坐标:
(-3,4)
(-3,4)
;(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
分析:(1)将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式,然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长,从而求得点D的纵坐标;
(2)PA=t,OE=l,利用△DAP∽△POE得到比例式,从而得到有关两个变量的二次函数,求最值即可;
(3)分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积.
(2)PA=t,OE=l,利用△DAP∽△POE得到比例式,从而得到有关两个变量的二次函数,求最值即可;
(3)分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积.
解答:解:(1)(-3,4);
(2)设PA=t,OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
=
∴l=-
t2+
t=-
(t-
)2+
∴当t=
时,l有最大值
即P为AO中点时,OE的最大值为
;
(3)存在.
①点P点在y轴左侧时,DE交AB于点G,
P点的坐标为(-4,0),
∴PA=OP-AO=4-3=1,
由△PAD≌△OEP得OE=PA=1
∴OP=OA+PA=4
∵△ADG∽△OEG
∴AG:GO=AD:OE=4:1
∴AG=
AO=
∴重叠部分的面积=
×4×
=
②当P点在y轴右侧时,P点的坐标为(4,0),
此时重叠部分的面积为
(2)设PA=t,OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
4 |
3-t |
t |
l |
∴l=-
1 |
4 |
3 |
4 |
1 |
4 |
3 |
2 |
9 |
16 |
∴当t=
3 |
2 |
9 |
16 |
即P为AO中点时,OE的最大值为
9 |
16 |
(3)存在.
①点P点在y轴左侧时,DE交AB于点G,
P点的坐标为(-4,0),
∴PA=OP-AO=4-3=1,
由△PAD≌△OEP得OE=PA=1
∴OP=OA+PA=4
∵△ADG∽△OEG
∴AG:GO=AD:OE=4:1
∴AG=
4 |
5 |
12 |
5 |
∴重叠部分的面积=
1 |
2 |
12 |
5 |
24 |
5 |
②当P点在y轴右侧时,P点的坐标为(4,0),
此时重叠部分的面积为
712 |
77 |
点评:本题考查了二次函数的综合知识,与二次函数的最值结合起来,题目的难度较大.
练习册系列答案
相关题目