Question

已知：OP为∠MON的平分线，点A、B分别是射线OM、ON上的点，BC平分∠ABN．交射线DP于点C．连接AC
（1）求证：∠MAC+∠OCB=90°；
（2）当∠MON=90°时，过点A作AF∥0N．交BC于点F，交0C于点E，连接BE．若BE=BF，请体探究线段AC与AE之间的数量关系．井证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过C作CD⊥OM于D，CG⊥AB于G，CH⊥ON于H，根据角平分线性质求出CD=CG，求出∠DCA=∠GCA，∠GCB=∠HCB，求出∠AOC+∠ACO+∠OCB=90°，把∠MAC=∠AOC+∠ACO代入求出即可；
（2）过C作CD∥ON交OM于D，证△EFB∽△BFA，推出BF²=EF•FA，证△ACF∽△CEF，推出CF²=EF•AF，求出CF=BF，推出AD=AO，得出△DOC是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AC²=AD²+DC²=5AD²，得出AC=

5

AD，即可得出答案．

解答：（1）证明：如图1，过C作CD⊥OM于D，CG⊥AB于G，CH⊥ON于H，
∵OC平分∠MON，BC平分∠ABN，
∴CD=CH，CG=CH，
∴CD=CG，
∴AC平分∠MAB，
∴∠DAC=∠BAC，∠CDA=∠CGA=90°，
∴∠DCA=∠GCA，
同理∠GCB=∠HCB，
∴∠ACB=

1

2

∠DCH，∠AOC=

1

2

∠AOB，
∵∠ODC=∠CHO=90°，
∴∠DCH+∠DOH=180°，
∴∠ACB+∠AOC=90°，
∴∠AOC+∠ACO+∠OCB=90°，
∵∠MAC=∠AOC+∠ACO，
∴∠MAC+∠OCB=90°；

（2）AC=

5

AE，
证明：过C作CD∥ON交OM于D，
∵AF∥ON，
∴∠FBN=∠AFB，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF，
∵∠ABF=∠FBN，
∴∠FEB=∠ABF，
∵∠BFE=∠AFB，
∴△EFB∽△BFA，
∴

EF

BF

=

BF

AF

，
∴BF²=EF•FA，
∵AF∥ON，∠AOB=90°，
∴∠OAF+AOB=180°，
∴∠OAF=90°，
∴∠AOC+∠AED=90°，
∵∠ACB+∠AOC=90°，∠AEO=∠CEF，
∴∠ACF=∠CEF，
∵∠APC=∠CFE，
∴△ACF∽△CEF，
∴

EF

CF

=

CF

AF

，
∴CF²=EF•AF，
∴CF=BF，
∴AD=AO，
∵∠AOC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴

AD

DC

=

1

2

，
∵AC²=AD²+DC²=5AD²，
∴AC=

5

AD，
∵△OAE是等腰直角三角形，
∴AE=AO=AD，
∴AC=

5

AE．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线性质，勾股定理等知识点的综合运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．