题目内容

【题目】如图,在四边形ABCD中,DCABDAABAD=4cmDC=5cmAB=8cm.如果点PB点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点QA点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ,设运动时间为t s,解答下列问题:

1)当t为何值时,PQ两点同时停止运动?

2)设PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值;

3)当PQB为等腰三角形时,求t的值.

【答案】(1)5(2)(3)t=sst=4s

【解析】试题分析:(1)、通过比较线段ABBC的大小,找出较短的线段,根据速度公式可以直接求得;(2)、由已知条件,把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来,三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来,代入三角形的面积公式可得到一个二次函数,即可求出S的最值;(3)、根据等腰三角形的性质和余弦公式列出等式求解,即可求的结论.

试题解析:(1)、作CE⊥ABE∵DC∥ABDA⊥AB四边形AECD是矩形,

∴AE=CD=5CE=AD=4∴BE=3∴BC=5∴BCAB

∴PC时,PQ同时停止运动, ∴t=(秒), 即t=5秒时,PQ两点同时停止运动.

(2)、由题意知,AQ=BP=t∴QB=8﹣t, 作PF⊥QBF,则△BPF△BCE

,即∴BF=

∴S=QBPF=×8﹣t=﹣t﹣42+0t≤5),

∵﹣0∴S有最大值,当t=4时,S的最大值是

(3)∵cos∠B=PQ=PB时(如图2所示),则BG=BQ==,解得t=s

PQ=BQ时(如图3所示),则BG=PB==,解得t=s

BP=BQ时(如图4所示),则8﹣t=t, 解得:t=4

综上所述:当t=sst=4s时,△PQB为等腰三角形.

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