题目内容
【题目】如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ,设运动时间为t s,解答下列问题:
(1)当t为何值时,P,Q两点同时停止运动?
(2)设△PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值;
(3)当△PQB为等腰三角形时,求t的值.
【答案】(1)、5;(2)、;(3)、t=s,s或t=4s
【解析】试题分析:(1)、通过比较线段AB,BC的大小,找出较短的线段,根据速度公式可以直接求得;(2)、由已知条件,把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来,三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来,代入三角形的面积公式可得到一个二次函数,即可求出S的最值;(3)、根据等腰三角形的性质和余弦公式列出等式求解,即可求的结论.
试题解析:(1)、作CE⊥AB于E, ∵DC∥AB,DA⊥AB, ∴四边形AECD是矩形,
∴AE=CD=5,CE=AD=4, ∴BE=3, ∴BC=5, ∴BC<AB,
∴P到C时,P、Q同时停止运动, ∴t=(秒), 即t=5秒时,P,Q两点同时停止运动.
(2)、由题意知,AQ=BP=t, ∴QB=8﹣t, 作PF⊥QB于F,则△BPF~△BCE,
∴,即, ∴BF=,
∴S=QBPF=×(8﹣t)=﹣(t﹣4)2+(0<t≤5),
∵﹣<0, ∴S有最大值,当t=4时,S的最大值是;
(3)、∵cos∠B=, ①当PQ=PB时(如图2所示),则BG=BQ,==,解得t=s,
②当PQ=BQ时(如图3所示),则BG=PB,==,解得t=s,
③当BP=BQ时(如图4所示),则8﹣t=t, 解得:t=4.
综上所述:当t=s,s或t=4s时,△PQB为等腰三角形.