题目内容

我们知道两个一次函数y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂，当k₁=k₂时，这两个一次函数的图象相互平行，那么两个一次函数的图象什么情况下相互垂直呢？下面我们就来探索．
（1）画一画
在同一平面直角坐标系下画出一次函数y=2x+1，y=-2x+3，y=

1

2

x-1，y=-

1

2

x+2的图象；
（2）想一想
仔细观察图象，结合四个一次函数的解析式提出猜想：当

k₁•k₂=-1

k₁•k₂=-1

时，两个一次函数y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的图象相互垂直；
（3）用一用
利用（2）中的结论解决下面问题如图：已知正比例函数y=

1

2

x的图象和⊙P相切于点A，点P在x轴上，OP=3厘米，求⊙P的面积．

分析：（1）分别求出直线与坐标轴的交点，然后根据两点确定一条直线，利用两点法作出直线图象即可；
（2）结合图象根据互相垂直的两直线解析式的k值解答；
（3）根据（2）的结论求出直线AP的k值，然后求出直线AP的解析式，与OA的解析式联立求解得到点A的坐标，再利用勾股定理求出OA的长度，再次利用勾股定理求出PA的长度，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解．

解答：

解：（1）①x=0时，y=1，y=0时，2x+1=0，解得x=-

1

2

，
所以，直线y=2x+1经过点（0，1）（-

1

2

，0），
②当x=0时，y=3，当y=0时，-2x+3=0，解得x=

3

2

，
所以，直线y=-2x+3经过点（0，3）（

3

2

，0），
③当x=0时，y=-1，当y=0时，

1

2

x-1=0，解得x=2，
所以，直线y=

1

2

x-1经过点（0，-1）（2，0），
④当x=0时，y=2，当y=0时，-

1

2

x+2=0，解得x=4，
所以，直线y=-

1

2

x+2经过点（0，2）（4，0），
作图如图所示；

（2）由图可知，y=2x+1与y=-

1

2

x+2垂直，y=-2x+3与y=

1

2

x-1垂直，
∵2×（-

1

2

）=-1，-2×

1

2

=-1，
∴猜想当k₁•k₂=-1时，y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的图象相互垂直；
故答案为：k₁•k₂=-1；

（3）根据（2）的结论，
∵正比例函数y=

1

2

x的图象和⊙P相切于点A，
∴直线AP的k值等于-2，
所以，设直线AP的解析式为y=-2x+b，
∵OP=3，
∴点P的坐标为（3，0），
∴-2×3+b=0，
解得b=6，
∴直线AP的解析式为y=-2x+6，
联立

y=-2x+6

y=

1

2

x

，
解得

x=

12

5

y=

6

5

，
所以，OA=

(

12

5

)2+(

6

5

)2

=

6

5

5

，
AP=

OP2-OA2

=

9-

36

5

=

3

5

5

，
⊙P的面积=π•AP²=π•（

3

5

5

）²=

9

5

π．

点评：本题是对一次函数的综合考查，主要涉及利用两点法作一次函数图象，联立两直线解析式求直线的交点，勾股定理的应用，是综合题，但难度不大，读懂题目信息，准确作出图形是解题的关键．

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（2013•镇江）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y=

(k≠0)的图象是由反比例函数y=

(k≠0)的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．
如图，已知反比例函数y=

的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．
（1）写出点B的坐标，并求a的值；
（2）将函数y=

的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．
①求n的值；
②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；
③直接写出不等式

≤ax-1的解集．

我们知道在平面直角坐标系中，二次函数y=-（x-1）²+2的图象可以由二次函数y=-x²的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到．由此我们是否可以联想其它类型的函数也可以进行类似的平移呢？小明和小华两位同学对于这个问题进行了如下思考：
（1）现把一次函数y=-x的图象向上平移1个单位后得到一个新的函数的图象的解析式为

；若再向右平移3个单位后的图象的解析式为

．
（2）如果把反比例函数y=

的图象向上平移2个单位得反比例函数

的图象，若再向右平移2个单位后可以得到反比例函数

的图象；
（3）函数y=

的图象可以由函数y=-

图象如何平移得到的；
（4）已知反比例函数y=

的图象将此函数向右平移2个单位后，再进行上下平移，使新函数的图象与坐标轴的两个交点与原点构成一个等腰三角形，求新函数的解析式．

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（1）画一画
在同一平面直角坐标系下画出一次函数y=2x+1，y=-2x+3，y= $数学公式$ x-1，y=- $数学公式$ x+2的图象；
（2）想一想
仔细观察图象，结合四个一次函数的解析式提出猜想：当______时，两个一次函数y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的图象相互垂直；
（3）用一用
利用（2）中的结论解决下面问题如图：已知正比例函数y= $数学公式$ x的图象和⊙P相切于点A，点P在x轴上，OP=3厘米，求⊙P的面积．

我们知道两个一次函数y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂，当k₁=k₂时，这两个一次函数的图象相互平行，那么两个一次函数的图象什么情况下相互垂直呢？下面我们就来探索．
（1）画一画
在同一平面直角坐标系下画出一次函数y=2x+1，y=-2x+3，y=

x+2的图象；
（2）想一想
仔细观察图象，结合四个一次函数的解析式提出猜想：当______时，两个一次函数y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的图象相互垂直；
（3）用一用
利用（2）中的结论解决下面问题如图：已知正比例函数y=

x的图象和⊙P相切于点A，点P在x轴上，OP=3厘米，求⊙P的面积．