Question

如图，函数y=-

1

2

x+2的图象交y轴于M，交x轴于N，点P是直线MN上任意一点，PQ⊥x轴，Q是垂足，设点Q的坐标为（t，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．

（1）试求S与t之间的函数关系式；
（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S=a（a＞0）的点P的个数．

Answer 1

分析：本题要根据题意把各种情况都讨论出来，同时把△POQ的面积表示出来．（2）要根据题意列式整理分析，在根据解析式画出图象．

解答：解：
解法1：（1）①当t＜0时，OQ=-t，PQ=-

1

2

t+2，
∴S=

1

2

•(-t)(-

1

2

t+2)=

1

4

t2-t；
②当0＜t＜4时，OQ=t，PQ=-

1

2

t+2，
∴S=

1

2

•t(-

1

2

t+2)=-

1

4

t2+t；
③当t＞4时，OQ=t，PQ=-(-

1

2

t+2)=

1

2

t-2，
∴S=

1

2

•t(

1

2

t-2)=

1

4

t2-t；
④当t=0或4时，S=0；
于是，S=

1 4 t2-t(t＜0或t＞4) - 1 4 t2+t(0≤t≤4)

（6分）；

（2）S=

1 4 t2-t= 1 4 (t-2)2-1(t＜0或t＞4) - 1 4 t2+t=- 1 4 (t-2)2+1(0≤t≤4)

下图中的实线部分就是所画的函数图象．（12分）
观察图象可知：
当0＜a＜1时，符合条件的点P有四个；
当a=1时，符合条件的点P有三个；
当a＞1时，符合条件的点P只有两个．（15分）
解法2：（1）∵OQ=|t|，PQ=|-

1

2

t+2|=|

1

2

t-2|，
∴S=

1

2

|t|•|

1

2

t-2|=

1

4

|t2-4t|（4分）
（2）S=

1

4

|t2-4t|=

1 4 t2-t(t＜0或t＞4) - 1 4 t2+t(0≤t≤4)

（6分）
以下同解法1．

点评：本题考查一次函数有关分情况讨论的问题，解题中要注意对各种情况做出准确分析，尤其是t值做好取值范围的分段，