题目内容
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H.点G在⊙O上,过点G作直线EF,交CD延长线于点E,交AB的延长线于点F.连接AG交CD于K,且KE=GE.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC∥EF,
=
,FB=1,求⊙O的半径.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC∥EF,
AH |
AC |
3 |
5 |
考点:切线的判定,相似三角形的判定与性质
专题:
分析:(1)求出∠OGA=∠OAG,∠AKH+∠OAG=90°,∠KGE=∠GKE=∠AKH,推出∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90°,得出∠OGE=90°,根据切线的判定推出即可.
(2)求出∠F=∠CAH,∠OGF=∠CHA=90°,推出Rt△AHC∽Rt△FGO,得出
=
,根据
=
求出
=
,得出方程
=
,求出即可.
(2)求出∠F=∠CAH,∠OGF=∠CHA=90°,推出Rt△AHC∽Rt△FGO,得出
CH |
AC |
OG |
OF |
CH |
AC |
4 |
5 |
OG |
OF |
4 |
5 |
4 |
5 |
OG |
OG+1 |
解答:解:(1)直线EF与⊙O的位置关系是相切,
理由是:如图,连接OG,
∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
∵KE=GE,
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH,
∴∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90°,
∴∠OGE=90°
即OG⊥EF,又∵G在圆O上
∴EF与圆O相切.
(2)∵AC∥EF,
∴∠F=∠CAH,
∵∠OGF=∠CHA=90°,
∴Rt△AHC∽Rt△FGO,
∴
=
,
∵在Rt△OAH中,
=
,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t.
∴
=
,
∴
=
,
∵FB=1,
∴
=
,
解得:OG=4,
即圆O的半径为4.
理由是:如图,连接OG,
∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
∵KE=GE,
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH,
∴∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90°,
∴∠OGE=90°
即OG⊥EF,又∵G在圆O上
∴EF与圆O相切.
(2)∵AC∥EF,
∴∠F=∠CAH,
∵∠OGF=∠CHA=90°,
∴Rt△AHC∽Rt△FGO,
∴
CH |
AC |
OG |
OF |
∵在Rt△OAH中,
AH |
AC |
3 |
5 |
∴
CH |
AC |
4 |
5 |
∴
OG |
OF |
4 |
5 |
∵FB=1,
∴
4 |
5 |
OG |
OG+1 |
解得:OG=4,
即圆O的半径为4.
点评:本题考查了等腰三角形的性质,相似三角形的性质和判定,解直角三角形,切线的判定的应用,注意:经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
练习册系列答案
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