Question

我们来探究“雪花曲线”的有关问题：如图（1）是边长为1的正三角形，将此三正角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形；然后以其两腰代替底边，得到第二个图形如图（2）；再将图（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如图（3），如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于

 

．

Answer 1

分析：此题注意首先根据前面几个图形找到相邻两个图形的周长之间的关系，后一个图形在前一个的基础上多了它的

1

3

，以此类推，即可进一步得到和第一个图形的周长之间的关系．

解答：解：观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的

1

3

．
第三个在第二个的基础上，多了其周长的

1

3

．
第二个周长：3×

4

3

，
第三个周长：3×

4

3

×

4

3

，
第四个周长：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
第五个周长：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
即得到的第5个图形的周长是第一个周长的（

4

3

）⁴，即其周长是3×（

4

3

）⁴=

256

27

．
故答案为：

256

27

．

点评：此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，观察出后一个图形的周长在它的前一个的基础上多了它周长的

1

3

是解题的关键．