Question

阅读下面的文字，完成后面问题．我们知道

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，那么

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

2003×2004

=

1

2003

-

1

2004

．用含有n的式子表示你发现的规律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．并依此计算

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2003×2005

．

Answer 1

分析：分子为1，分母为相邻2个自然数的分数应等于分子为1，分母分别为这两个自然数的分数的差，依此规律得到所要计算的式子的每个分数等于分子为1，分母分别为原分数中2个因数的分数的差的一半，进而化解计算即可．

解答：解：

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

2003×2004

=

1

2003

-

1

2004

，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
故答案为：

1

4

-

1

5

；

1

2003

-

1

2004

；

1

n

-

1

n+1

；

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2003×2005

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2003

-

1

2005

）
=

1

2

×（1-

1

2005

）
=

1

2

×

2004

2005

=

1002

2005

．

点评：考查数的变化规律的应用；得到分子为1，分母为2个等差的数的积的分数的化简规律是解决本题的关键．