题目内容

如果两个正数,即,有下面的不等式:

          当且仅当时取到等号

我们把叫做正数的算术平均数,把叫做正数的几何平均数,于是上述不等式可表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用,是解决最值问题的有力工具。下面举一例子:

例:已知,求函数的最小值。

解:令,则有,得,当且仅当时,即时,函数有最小值,最小值为

根据上面回答下列问题

1.已知,则当         时,函数取到最小值,最小值

为         

2.用篱笆围一个面积为的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所

用的篱笆最短,最短的篱笆周长是多少

3.已知,则自变量取何值时,函数取到最大值,最大值为多少?

 

【答案】

 

1.已知,则当时,函数取到最小值,最小值

2.设这个矩形的长为x米,则宽为  米,所用的篱笆总长为y米,

根据题意得:y=2x+                 ………………………………1分

由上述性质知:x > 0, 2x≥40

此时,2x=   x=10                          ………………………………2分

答:当这个矩形的长、宽各为10米时,所用的篱笆最短,

最短的篱笆是40米;                                    …………………………1分

3.令x-2

x > 0,=x≥6

当x=3时,y最大=1/4………………………………………4分

 【解析】略

 

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