题目内容
如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝
，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)．
将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1．
∴y＝－x2＋2x＋3．
则点B(1，4)．
(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．
在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，
∴∠1＝∠2＝45°，AE＝
＝3
．
在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝
＝．
∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°．
∴AB是△ABE外接圆的直径．………………………………………………………………3分
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝
＝＝tan∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°．
∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．………………………………………………………………5分
(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．………………………………………………………8分
(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．
将A(3，0)，B(1，4)代入，得
解得
∴y＝－2x＋6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝
，∴F(，3)．…………9分
情况一：如图7，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．
则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得
．即
．解得HK＝2t．
∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝
×3×3－(3－t)2－t·2t＝－t2＋3t．…………11分
情况二：如图8，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得
．即
．解得IQ＝2(3－t)．
∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2＝(3－t)2＝t2－3t＋
．
综上所述：s＝
