Question

某厂从2005年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：

年    度	2006	2007	2008	2009
投入技改资金x（万元）	2.5	3	4	4.5
产品成本y（万元/件）	7.2	6	4.5	4

（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2010年已投入技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2009年降低多少万元？
②如果打算在2009年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）

Answer 1

分析：（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（2）直接把x=5万元和y=3.2分别代入函数解析式即可求解．

解答：解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，
当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，
∴

7.2=2.5k+b 6=3k+b

解得k=-2.4，b=13.2
∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，
左边≠右边．
∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为y=

k

x

．
当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2=

k

2.5

解得k=18
∴反比例函数是y=

18

x

．（2分）
验证：当x=3时，y=

18

3

=6，符合反比例函数．
同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立．
可用反比例函数y=

18

x

表示其变化规律．

（2）①当x=5万元时，y=3.6．
4-3.6=0.4（万元），
∴生产成本每件比2009年降低0.4万元．
②当y=3.2万元时，3.2=

18

x

．
∴x=5.625
∴5.625-5=0.625≈0.63（万元）
∴还约需投入0.63万元．

点评：本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．要注意用排除法确定函数的类型．