Question

如图，圆B切y轴于原点O，过定点A（-2

3

，0）作圆B的切线交圆于点P，已知tan∠PAB=

3

3

，抛物线C经过A，P两点．
（1）求圆B的半径．
（2）若抛物线C经过点B，求其解析式．
（3）设抛物线C交y轴于点M，若三角形APM为直角三角形，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为AP是⊙B的切线，所以连接PB可构造出直角三角形，利用直角三角形的性质及特殊角的三角函数值即可求出圆B的半径．
（2）根据⊙B的半径可求出B点坐标，利用勾股定理或切割线定理可求出AP的距离，根据AP、BP的长可求出P点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
（3）求出P点坐标和A点坐标，设出M点坐标为（0，t），根据勾股定理及其逆定理解答．

解答：解：
（1）连接PB，则PB⊥AP，设PB=r，
∵tan∠PAB=

3

3

，
∴∠PAB=30°，
故r=

1

2

（OA+OB）=

1

2

（2

3

+r），
解得r=2

3

．

（2）如P在第一象限，OP与x轴的夹角=2∠PAB=60°
则：P点坐标（2

3

cos60°，2

3

sin60°），
即（

3

，3）
B、A关于y轴对称，所以抛物线顶点必在y轴上，
设为（0，m）
抛物线解析式：y-m=kx²
将（

3

，3），（2

3

，0），代入，
得：3-m=3k，-m=12k，m=4，k=-

1

3

抛物线解析式：y=-

1

3

x²+4
若P点在四象限，则：P点坐标（

3

，-3）
则抛物线解析式：y=-

1

3

x²-4

（3）由于P点坐标为（

3

，3），A点坐标为（-2

3

，0），M点坐标为（0，t）．
根据勾股定理，①PA²=PM²+AM²，36=t²-6t+12+12+t²，
解得t=

3± 33

2

；
②PM²=PA²+AM²，t²-6t+12=36+12+t²，解得t=-6；
③AM²=PA²+PM²，12+t²=36+t²-6t+12，解得t=6．
于是M点坐标为（0，-6），（0，6），（0，

3+ 33

2

），（0，

3- 33

2

）．

点评：此题将圆、抛物线、直线结合起来，考查了对知识的综合运用能力．特别是解（3）时，要应用勾股定理进行分类讨论．