题目内容
2011年5月9日,我市成立了首支食品药品犯罪侦缉支队,专门打击危害食品药品安全的违法犯罪行为,食品安全已越来越受到人们的关注.我市某食品加工企业严把质量关,积极生产“绿色健康”食品,由于受食品原料供应等因素的影响,生产“绿色健康”食品的产量随月份增加呈下降趋势.今年前5个月生产的“绿色健康”食品y(吨)与月份(x)之间的关系如下表:
月份x(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
“绿色健康”食品产量y(吨) | 48 | 46 | 44 | 42 | 40 | … |
(2)随着“绿色健康”食品生产量的减少,每生产一吨“绿色健康”食品,企业相应获得的利润有所提高,且每生产一吨获得的利润P(百元)与月份x(月)成一次函数关系.已知1月份每生产一吨“绿色健康”食品,企业相应获利80百元,4月份每生产一吨“绿色健康”食品企业相应获利95百元.那么今年哪月份该企业获得的利润最大?最大利润是多少百元?
(3)受国家法律保护的激励,该企业决定今年5月份起,更新食品安全检测设备的同时,扩建食品原料基地以提高生产“绿色健康”食品的产量.更新设备检测费用和扩建原料基地费用共用去4000百元,预计从6月份起,每月生产一吨“绿色健康”食品的产量在上一个月基础上增加a%,与此同时,每生产一吨“绿色健康”食品,企业相应获得的利润在上一个月的基础上增加20%,要使今年6、7月份利润的总和在扣除设备检测费用和扩建基地费用后,仍是今年5月份月利润的2倍,求a的整数值.(参考数据:,,,)
解:(1)设解析式为y=kx+b,将(1,48),(2,46)分别代入解析式得,
,
解得,
则解析式为y=-2x+50;
(2)设函数解析式为P=kx+b,将(1,80),(4,95)分别代入解析式得,
,
解得.
则函数解析式为P=5x+75.
则Q=yP=(-2x+50)(5x+75)=-10x2+100x+3750=-10(x-5)2+4000,
可见,x=5时,函数取得最大值4000.
故今年5月份该企业获得的利润最大,最大利润是4000百元;
(3)由题意可知六月份的利润=4000×(1+a%)(1+20%);
七月份的利润=4000(1+a%)2×(1+20%)2;
扩建原料基地费用共用去4000百元,
故根据题意列方程得,4000×(1+a%)(1+20%)+4000(1+a%)2×(1+20%)2-4000=8000.
整理得,12(1+a%)2+10(1+a%)-25=0,
解得a≈8.
分析:(1)由于图中数据为均匀变化,故可猜想y与x为一次函数关系,设出解析式,利用待定系数法即可求解;
(2)设函数解析式为P=kx+b,将(1,80),(4,95)分别代入解析式,求出k、b即可求出函数解析式,再设利润为Q,列出二次函数解析式,即可求出函数最大值.
(3)求出6、7月份的产量,6、7月份的产量利润,列出方程解答即可.
点评:本题考查了二次函数和一次函数的应用,根据图表列出一次函数关系式是解题的关键,另外要熟悉二次函数的最值的求法.
,
解得,
则解析式为y=-2x+50;
(2)设函数解析式为P=kx+b,将(1,80),(4,95)分别代入解析式得,
,
解得.
则函数解析式为P=5x+75.
则Q=yP=(-2x+50)(5x+75)=-10x2+100x+3750=-10(x-5)2+4000,
可见,x=5时,函数取得最大值4000.
故今年5月份该企业获得的利润最大,最大利润是4000百元;
(3)由题意可知六月份的利润=4000×(1+a%)(1+20%);
七月份的利润=4000(1+a%)2×(1+20%)2;
扩建原料基地费用共用去4000百元,
故根据题意列方程得,4000×(1+a%)(1+20%)+4000(1+a%)2×(1+20%)2-4000=8000.
整理得,12(1+a%)2+10(1+a%)-25=0,
解得a≈8.
分析:(1)由于图中数据为均匀变化,故可猜想y与x为一次函数关系,设出解析式,利用待定系数法即可求解;
(2)设函数解析式为P=kx+b,将(1,80),(4,95)分别代入解析式,求出k、b即可求出函数解析式,再设利润为Q,列出二次函数解析式,即可求出函数最大值.
(3)求出6、7月份的产量,6、7月份的产量利润,列出方程解答即可.
点评:本题考查了二次函数和一次函数的应用,根据图表列出一次函数关系式是解题的关键,另外要熟悉二次函数的最值的求法.
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