Question

观察图回答问题：
图中的圆被线段隔开分成了四层，则第一层有1个圆，第二层有3个圆，第三层有5个圆…，
（1）如继续画下去，第五层有________个圆，第n层应画________个圆；
（2）某一层上有99个圆，则这是在第________层；
（3）前三层共有________个圆；前十层共有________个圆；
（4）请推算，这种图前n层共有多少个圆？

Answer 1

解：根据题意得：
（1）∵第三层有5个圆，第四层有7个圆；
∴5层应该9个圆，
∵每一层都比其前一层多2个圆，
∴第n层有（2n-1）个圆；
（2）2n-1=99
解得：n=50，
故50层有99个圆；
（3）前三层共有9个圆；前十层共有100个圆；
（4）1+3=4=2²；1+3+5=9=3²；1+3+5+7=16=4²；
则n层的圆的个数和是1+3+5+…+2n-1=n²；
故答案为：（1）9，2n-1；（2）50；（3）9，100．
分析：（1）结合图形，不难发现：第n层所对应的圆的个数正好是所对应的奇数，即2n-1．
（2）令2n-1=99求得n值即可；
（3）根据图行写出前三层和前十层的圆的个数即可；
（4）首先正确计算出前面几层的和，再根据得数和层数之间的关系发现规律，推而广之．
点评：此题考查了图形的变化类问题，要能够结合图形发现每层的点数的规律：第n层圆的个数是对应的奇数2n-1；前n层的圆的个数和是1+3+…+2n-1=n²．