Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）求出∠PCE+∠OCE=90°，代入求出∠PCE+∠OCD=90°，即OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；
（2）设OE=k，则AE=2k，OC=3k，在Rt△OCE中，由勾股定理得CE=2

2

k，证△PEC∽△CEO，得出

CE

PE

=

OE

CE

，得出方程（2

2

k）²=（6+2k）k，求出方程的解即可．

解答：证明：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CEO=90°，
∴∠PCE+∠OCE=90°，
∵∠PCE=∠POC，
∴∠PCE+∠OCD=90°，
∴OC⊥PC，
又∵OC为半径，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：设OE=k，则AE=2k，OC=3k，
在Rt△OCE中，由勾股定理得CE=2

2

k，
∵∠P=∠P，∠PEC=∠PCO=90°，
∴△PEC∽△CEO，
∴

CE

PE

=

OE

CE

，
即（2

2

k）²=（6+2k）k，
k=0（舍去），k=1，
即OC=3k=3，
答：⊙O的半径为3．

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的计算和推理能力．