题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知
的两条直角边
、
分别在
轴和
轴上， 
、
的长分别是方程
的两根，动点
从点
开始在线段
上以每秒
个单位长度的速度向点
运动；同时，动点
从点
开始在线段
上以每秒
个单位长度的速度向点
运动，设点
、
运动的时间为
秒．
（
）求
、
两点的坐标．
（
）当
为何值时
为直角三角形，此时点
的坐标为？
（
）当
时，在坐标平面内，是否存在点
，使以
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出
点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（
）
， 
；（
）
， 
；（
）有， 
； 
； 
．
【解析】试题分析：
（1）解方程可求得OA、AB的长，再由勾股定理可求得OB的长，从而可得点A、B的坐标；
（2）如图1，根据题意分析可知，存在两种可能性：①∠APQ=90°或②∠AQP=90°由这两种情况分别可证得：△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB，由此可列出比例式求出对应的t的值，进而可求得对应的点Q的坐标；
（3）如图2，由t=2，可求得此时AP和BQ的长，结合题意分析存在三种可能情况，结合（1）、（2）中求得的数据和平行四边形的判定分析就可求得点M的坐标；
试题解析：
（
）方程： 
可化为： 
，解得： 
， 
，
∴OA=3，AB=6，
∴OB=
，
∴
， 
；
（
）如图1，由（1）可知，在Rt△AOB中，OA=3，AB=6，∠AOB=90°，
∴AO=
AB，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°.
当 ①
，则
，由
，则此时BQ=3，作Q1N1⊥OB与N1，由∠ABO=30°可得Q1N1=
，由勾股定理可得BN1=
，
∴ON1=OB-BN1=
，
∴点Q1的坐标为
；
当②
，则
，由
，同理可得：点Q2的坐标为
；
综合①、②可得： 
， 
；
（
）如图2，当t=2时，AP=2，BQ=4，
①过点Q作QM1⊥OB与点M1，由∠ABO=30°，可得QM1=2=AP，
又∵QM1∥AP，
∴此时四边形APM1Q是平行四边形.
在Rt△QM1B中，由勾股定理可得BM1=
，
∴OM1=OB-BM1=
，
∴点M1的坐标为
；
②延长M1Q至点M2，使QM2=QM1=2，连接AM2，则由①可知此时，QM2∥AP且QM2=AP，
∴四边形ABQM2是平行四边形，此时点M2的坐标为
；
③ 由t=2时，AP=2，BQ=4，可得AQ=AB-BQ=2=AP，
又∵∠BAO=60°，
∴△APQ是等边三角形，则将△APQ沿AP翻折得到△APM3，易证此时四边形AQPM3是平行四边形，而点M3与点Q关于y轴对称，
∵Q的坐标为
，
∴点M3的坐标为
；
综上所述：存在点M，使以点A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，其坐标分别为：M1
、M2
、M3
.
