Question

将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：
第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形在分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；
第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形在分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；
按上述分割方法进行下去…
（1）请你在下图中画出第一次分割的示意图；
（2）若原正六边形的面积为a，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：

分割次数（n）	1	2	3	…
正六边形的面积S

（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系？（S用含a和n的代数式表示，不需要写出推理过程）

Answer 1

分析：（1）根据正六边形的每一个角是60°和各边都相等，可以作两个内角的角平分线，构造三个菱形；再进一步找到其中一个菱形的各边中点，进行分割成正六边形和两个全等的三角形；
（2）根据正六边形的面积比是边长的比的平方，发现每一次分割得到的正六边形的边长都是上一次正六边形的边长的

1

2

，则面积是上一次的正六边形的面积的

1

4

．根据这一规律完成表格；
（3）根据上述规律即可得到分割n次时，则S=

a

4n

．

解答：（1）如图：
；

（2）

分割次数（n）	1	2	3	…
正六边形的面积S	a 4	a 16	a 64	…

；

（3）S=

a

4n

．

点评：此题要熟练运用正多边形的性质进行分析．