Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）．

（1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间四边形BPDQ为菱形？

（2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间△DPQ为直角三角形？

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD．

∵点P、Q均以3cm/s的速度移动，

∴AP=CQ，

∴BP=DQ，

∴四边形BPDQ是平行四边形，

∴当BP=DP时，四边形BPDQ是菱形．

设经过xs，四边形BPDQ是菱形，则有AP=3xcm，BP=（16﹣3x）cm，

由勾股定理得：DP2=（3x）2+62，

∴DP2=（3x）2+62=（16﹣3x）2，

解得：x=．

答：经过s时四边形BPDQ是菱形．

（2）∵点P不与点A重合，

∴∠PDQ≠90°，

∴△DPQ为直角三角形分两种情况：

①当∠DPQ=90°时，△DPQ为直角三角形，过点Q作QM⊥AB于M，易得四边形BCQM为矩形，如图所示．

∵AP=3xcm，BM=CQ=2xcm，则PM=（16﹣5x）cm，DQ=（16﹣2x）cm，

∴（16﹣5x）2+62+（3x）2+62=（16﹣2x）2，

解得：x1=2，x2=；

②当∠DQP=90°时，AP+CQ=16，

所以3x+2x=16，解得：x=．

综上可知：经过2s、s或s时，△DPQ为直角三角形．