Question

如图，△PQR和△P′Q′R′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF，设这个六边形的边长为AB=a₁，BC=b₁，CD=a₂，DE=b₂，EF=a₃，FA=b₃．求证：a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²．

Answer 1

解：如右图所示，
∵△PQR和△P′Q′R′是等边三角形，
∴∠P=∠Q=∠R=∠P′=∠Q′=∠R′=60°，
又∵∠ABP′=∠CBQ，∠BCQ=∠DCQ′，∠Q′DC=∠EDR，
∠DER=∠FER′，∠EFR′=∠AFP，∠FAP=∠BAP′，
∴△AP′B∽△CQB∽△CQ′D∽△ERD∽△ER′F∽△APF，
它们的面积比是相似比的平方，设比例系数为k，
则S_△AP′B=AB²k=a₁²•k，S_△CQB=CB²•k=b₁²•k，
S_△CQ′D=CD²•k=a₂²•k，S_△ERD=ED²•k=b₂²•k，
S_△ER′F=EF²•k=a₃²•k，S_△APF=FA²•k=b₃²•k，
由于两正三角形重叠部分应有相等面积，
故（a₁²+a₂²+a₃²）k=（b₁²+b₂²+b₃²）k，
即a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²．
分析：根据△PQR和△P′Q′R′是等边三角形，求证△AP′B∽△CQB∽△CQ′D∽△ERD∽△ER′F∽△APF，利用它们的面积比是相似比的平方，设比例系数为k，由于两正三角形重叠部分应有相等面积，故（a₁²+a₂²+a₃²）k=（b₁²+b₂²+b₃²）k，即可证明．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质的理解和掌握，但是此题步骤繁琐，特别是多个三角形相似，而且用到相似比是面积比的平方，更给此题增加了难度，因此属于难题，