Question

在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题；
②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．
解答：（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF与△DNC中，
，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN．

（2）解：①该命题是真命题．
理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD．
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴，
∴AE=EC，则AE=AC=a，
∴t==a．
则CM=1•t=a=CD，
∴点M为边CD的三等分点．
②能．理由如下：
易证△AFE∽△CDE，∴，即，得AF=．
易证△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t．
∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．
若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：
（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，
∴AF=DM，即=t，得t=0，不合题意．
∴此种情形不存在；
（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，
∴t=a，此时点F与点B重合；
（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：

易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；
又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=．
∴=a-t，
∴t=a，此时点F与点C重合．
综上所述，当t=a或t=a时，△MNF能够成为等腰三角形．
点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．