题目内容
如图,三角板ABC中,∠ACB=90°,AB=2,∠A=30°,三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A1B1C,求:
(1)弧AA1的长;
(2)在这个旋转过程中三角板AC边所扫过的扇形ACA1的面积;
(3)在这个旋转过程中三角板所扫过的图形面积;
(4)在这个旋转过程中三角板AB边所扫过的图形面积.
(1)弧AA1的长;
(2)在这个旋转过程中三角板AC边所扫过的扇形ACA1的面积;
(3)在这个旋转过程中三角板所扫过的图形面积;
(4)在这个旋转过程中三角板AB边所扫过的图形面积.
(1)∵∠ACB=90°,AB=2,∠A=30°,
∴BC=
AB=
×2=1,
根据勾股定理,AC=
=
=
,
∴弧AA1=
=
π;
(2)扇形ACA1的面积=
=
π;
(3)设弧BB1与AB相交于D,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=90°-30°=60°,
又∵BC=CD,
∴△BCD是等边三角形,
∴BD=BC=1,
∴AD=AB-BD=2-1=1,
∴S△ACD=
S△ABC=
×
×1×
=
,
∴三角板所扫过的图形面积=S扇形BCD+S扇形ACA1+S△ACD,
=
+
+
,
=
π+
;
(4)过点C作CE⊥AB于E,
S△ABC=
AB•CE=
BC•AC,
即
×2×CE=
×1×
,
解得CE=
,
S△BCE+S△A1CE1=S△ABC=
×1×
=
,
S扇形ECE1=
=
π,
∴AB边所扫过的图形面积=(
π+
)-
-
π=
π-
.
∴BC=
1 |
2 |
1 |
2 |
根据勾股定理,AC=
AB2-BC2 |
22-12 |
3 |
∴弧AA1=
90•π•
| ||
180 |
| ||
2 |
(2)扇形ACA1的面积=
90•π•
| ||
360 |
3 |
4 |
(3)设弧BB1与AB相交于D,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=90°-30°=60°,
又∵BC=CD,
∴△BCD是等边三角形,
∴BD=BC=1,
∴AD=AB-BD=2-1=1,
∴S△ACD=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
| ||
4 |
∴三角板所扫过的图形面积=S扇形BCD+S扇形ACA1+S△ACD,
=
60•π•12 |
360 |
90•π•
| ||
360 |
| ||
4 |
=
11 |
12 |
| ||
4 |
(4)过点C作CE⊥AB于E,
S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
即
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
解得CE=
| ||
2 |
S△BCE+S△A1CE1=S△ABC=
1 |
2 |
3 |
| ||
2 |
S扇形ECE1=
90•π•(
| ||||
360 |
3 |
16 |
∴AB边所扫过的图形面积=(
11 |
12 |
| ||
4 |
| ||
2 |
3 |
16 |
35 |
48 |
| ||
4 |
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