Question

已知如图，∠B=32°，∠D=38°，AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD．
（1）求∠M的大小．
（2）当∠B、∠D为任意角时，试探索∠M与∠B、∠D间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图，根据外角的性质定理可知∠5=∠1+∠B，∠6=∠4+∠D，∠BED=2∠1+∠B=2∠4+∠D，再根据三角形的内角和定理和四边形的内角和定理，可得180°-∠5+180°-∠6+∠BED+∠M=360°，然后通过等量代换即可推出∠M的度数，
（2）根据（1）的推理思路即可推出∠M=

1

2

（∠B+∠D）．

解答：解：（1）如图，∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠5=∠1+∠B，∠6=∠4+∠D，∠BED=2∠1+∠B=2∠4+∠D，
∵四边形FEGM的内角和为360°，
∴180°-∠5+180°-∠6+∠BED+∠M=360°，
∴∠M=∠5+∠6-∠BED=∠1+∠B+∠4+∠D-[（2∠1+∠B）+（2∠4+∠D）]×

1

2

=（∠B+
∠D）×

1

2

，
∵∠B=32°，∠D=38°，
∴∠M=35°；

（2）如图，∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∵∠5是△ABF的外角，∠6是△CDG的外角，∠BED是△CDE的外角，
∴∠5=∠1+∠B，∠6=∠4+∠D，∠BED=2∠1+∠B=2∠4+∠D（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∵四边形FEGM的内角和为360°，
∴180°-∠5+180°-∠6+∠BED+∠AMC=360°，
∴∠M=∠5+∠6-∠BED=∠1+∠B+∠4+∠D-[（2∠1+∠B）+（2∠4+∠D）]×

1

2

=（∠B+∠D）×

1

2

，
即∠M=

1

2

（∠B+∠D）．

点评：本题主要考查三角形的内角和定理、四边形的内角和定理、角平分线的性质、外角的性质，关键在于熟练运用个性质定理推出相关角之间的关系．