题目内容

(2004•沈阳)如图,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.
(1)求证:AB⊥AC;
(2)过点A的直线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,且DE是连心线时,直线DB与直线EC交于点F.请在图中画出图形,并判断DF与EF是否互相垂直,请证明;若不垂直,请说明理由;
(3)在(2)的其他条件不变的情况下,将直线DE绕点A旋转(DE不与点A、B、C重合),请另画出图形,并判断DF与EF是否互相垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由.

【答案】分析:(1)作两圆的内公切线,根据切线长定理,得到三角形一边上的中线等于这边的一半,从而证明直角三角形;
(2)根据弦切角定理,结合(1)中的结论进行证明;
(3)根据弦切角定理以及圆周角定理,和(1)中的结论即可证明.
解答:(1)证明:如图1,过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点O,
∵OB、OA是⊙O1的切线,
∴OB=OA.
同理OC=OA.
∴OB=OC=OA.
∴△ABC是直角三角形.
∴AB⊥AC.

(2)解:DF⊥EF.理由如下:
如图1,∵⊙O1和⊙O2外切于点A,
∴∠ABC=∠FDA,∠ACB=∠FEA,
由(1)得∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠FDA+∠FEA=90°,
∴∠DFE=90°,即DF⊥EF;

(3)解:DF⊥EF.理由如下:
第一种情况:如图2,
∵⊙O1和⊙O2外切于点A,
∴∠ABC=∠FDA,∠ACB=∠FEA.
由(1)得∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠FDA+∠FEA=90°.
∴∠DFE=90°,即DF⊥EF.
第二种情况:如图3,
∵∠ACB=∠FEA,∠CBD=∠BAD,∠EDF=∠DBA+∠DAB,
∴∠EDF=∠ABC.
∵∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠EDF+∠AEC=90°.
∴∠DFE=90°,即EF⊥DF.
点评:作两圆的内公切线是外切两圆中常见的辅助线之一.熟练运用弦切角定理、圆周角定理、切线长定理.注意一题多变的类型题的解法.
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