Question

如图，直线y=-

3

4

x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．
（1）直接填出两点的坐标：A：

（4，0）

，B：

（0，3）

；
（2）过点P作直线截△ABO，使截得的三角形与△ABO相似，若当P在某一位置时，满足条件的直线共有4条，t的取值范围是

0＜t≤

9

4

；
（3）如图，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设以C为顶点的抛物线 y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D，
①用含t的代数式分别表示m=

-t

，n=

-

3

4

t+3

；
②随着点P运动，CD的长是否为定值？若是，请求出CD长；若不是，说明理由；
③设△COD的OC边上的高为h，请直接写出当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

分析：（1）在直线AB的解析式中，令x=0，能得到点B的坐标；令y=0，能得到点A的坐标．
（2）此题需要注意的是“满足条件的直线共有4条”这个条件，这四条直线中，“过P与直线AB平行的直线、过P与y轴平行的直线、过P与直线AB垂直的直线”这三条直线，点P只要在线段OA上就都能满足“截得的三角形与△ABO相似”，所以求t的取值范围，关键要看第四条，即：当∠PBO=∠BAO时，△PBO、△BAO相似，那么此时点P的位置就能确定符合条件的t的最大值，可根据这个思路解答．
（3）①根据直线AB的解析式，用t表示出点C的坐标，而点C是抛物线的顶点，且抛物线的解析式已表示为顶点式，则m、n的值可求；
②联立直线AB与抛物线的解析式，先求出C、D点的坐标，再判断线段CD的长是否为定值；
③由②的结论知CD是定长，那么以CD为底、点O到直线AB的距离为高即可判断出△OCD的面积是一个定值，反过来看，若以OC为底、h为高，那么当OC最短时，h的值最大；在Rt△AOB中，显然只有当OC⊥AB时，OC最大，此时，先由△AOB的面积求出OC的长，然后在Rt△OCA中，由射影定理求出OP的长，则t值可求．

解答：解：（1）直线y=-

3

4

x+3中，当x=0时，y=3，即 B（0，3）；
当y=0时，x=4，即 A（4，0）；
∴A（4，0）、B（0，3）．

（2）如右图，过P作l∥AB、l⊥OA、l⊥AB时，△PBO、△BAO都相似，此时点P在线段OA上时，都符合要求，所以只考虑第四种情况：
当∠PBO=∠BAO时，Rt△PBO∽Rt△BAO；
易知：tan∠PBO=tan∠BAO=

OB

OA

=

3

4

；
在Rt△OBP中，OB=3，则 OP=OB•tan∠PBO=3×

3

4

=

9

4

∴满足条件的t的取值范围是 0＜t≤

9

4

．

（3）①由题意，知：P（t，0），则 C（t，-

3

4

t+3），而抛物线的顶点坐标为 （-m，n），
∴m=-t，n=-

3

4

t+3；
②由①知：y=（x-t）²-

3

4

t+3，联立直线AB的解析式，有：

y=(x-t)2- 3 4 t+3 y=- 3 4 x+3

，解得

x1=t y1=- 3 4 t+3

、

x2=t- 3 4 y2=- 3 4 t+ 57 16

∴点C（t，-

3

4

t+3）、D（t-

3

4

，-

3

4

t+

57

16

）；
可求得，CD的长为定值，且CD=

15

16

；
③由②知：CD的长是定值，且点O到CD的距离不变，所以△OCD的面积是定值；
在△OCD中，以OC为底、h为高，则 S_△OCD=

1

2

OC•h，S_△OCD是定值，所以当OC最短时，h最大；
在Rt△OAB中，OC为底边AB上的高时，OC最短，此时OC⊥AB；
OC=

OA•OB

AB

=

12

5

；
在Rt△OAC中，OP=

OC2

OA

=

( 12 5 )2

4

=

36

25

；
∴当t=

36

25

时，h的值最大．

点评：此题考查的内容较为繁杂，在（2）题中，找出四条符合条件的直线是解答该题的关键；最后一个小题中，以三角形的面积是定值为跳板来判断OC和h之间的关系是解题的突破口．