题目内容

【题目】如图, 在平面直角坐标系中,点AB分别是轴正半轴, 轴正半轴上两动点, ,以AOBO为邻边构造矩形AOBC,抛物线轴于点DP为顶点,PM轴于点M

(1)求 的长(结果均用含的代数式表示).

(2)当时,求该抛物线的表达式.

(3)在点在整个运动过程中.

①若存在是等腰三角形,请求出所有满足条件的的值.

②当点A关于直线DP的对称点恰好落在抛物线的图象上时,请直接写出的值.

【答案】(1)OD长为kPM的长为k+3

(2)该抛物线的表达式为

(3)①满足条件的的值为 6,或

的值为.

【解析】(1)点D在y=﹣x2+3x+k上,且在y轴上,即y=0求出点D坐标,根据抛物线顶点公式,求出即可;

(2)先用k表示出相关的点的坐标,根据PM=BM建立方程即可;

(3)①先用k表示出相关的点的坐标,根据△ADP是等腰三角形,分三种情况,AD=AP,DA=DP,PA=PD计算;

②由点P,D坐标求出直线PD解析式,根据PD⊥AA′,且A(0,2k),确定出AA′解析式,继而求出交点,再求出A′的坐标即可.

解:(1)把x=0,代入,得.∴

,∴

(2)∵,∴,

又∵ ,∴,解得

∴该抛物线的表达式为

(3)①

Ⅰ)当点P在矩形AOBC外部时

如图所示,

PPKOA于点K,当AD=AP时,

AD=AO-DO=2k-k=k

AD=AP =kKA=KO-AO=PM-AO=

KP=OM=2,在RtKAP中,

,解得

Ⅱ)当点P在矩形AOBC内部时

PD=AP时,如图所示,

PPHOAH

AD=kHD=

又∵HO=PM=

,解得

DP=DA时,如图所示,

DPQPMQ

PQ=PM-QM=PM-OD=

DQ=OM=2DP=DA=k

RtDQP中,

“点睛”此题是二次函数综合题,主要考查了二次函数解析式的确定,平面坐标系中求线段的长,等腰三角形的性质,确定出函数解析式是解本题的关键. 解(3)是本题的难点.

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