题目内容
【题目】如图, 在平面直角坐标系中,点A,B分别是轴正半轴, 轴正半轴上两动点, , ,以AO,BO为邻边构造矩形AOBC,抛物线交轴于点D,P为顶点,PM⊥轴于点M.
(1)求, 的长(结果均用含的代数式表示).
(2)当时,求该抛物线的表达式.
(3)在点在整个运动过程中.
①若存在是等腰三角形,请求出所有满足条件的的值.
②当点A关于直线DP的对称点恰好落在抛物线的图象上时,请直接写出的值.
【答案】(1)OD长为k,PM的长为k+3;
(2)该抛物线的表达式为;
(3)①满足条件的的值为, 6,或
②的值为.
【解析】(1)点D在y=﹣x2+3x+k上,且在y轴上,即y=0求出点D坐标,根据抛物线顶点公式,求出即可;
(2)先用k表示出相关的点的坐标,根据PM=BM建立方程即可;
(3)①先用k表示出相关的点的坐标,根据△ADP是等腰三角形,分三种情况,AD=AP,DA=DP,PA=PD计算;
②由点P,D坐标求出直线PD解析式,根据PD⊥AA′,且A(0,2k),确定出AA′解析式,继而求出交点,再求出A′的坐标即可.
解:(1)把x=0,代入,得.∴.
∵,∴.
(2)∵,∴, .
又∵, ,∴,解得.
∴该抛物线的表达式为.
(3)①
Ⅰ)当点P在矩形AOBC外部时
如图所示,
过P作PK⊥OA于点K,当AD=AP时,
∵AD=AO-DO=2k-k=k,
∴AD=AP =k,KA=KO-AO=PM-AO=
KP=OM=2,在Rt△KAP中,
∴,解得.
Ⅱ)当点P在矩形AOBC内部时
当PD=AP时,如图所示,
过P作PH⊥OA于H,
AD=k,HD=,
又∵HO=PM= ,
∴,解得.
当DP=DA时,如图所示,
过D作PQ⊥PM于Q,
PQ=PM-QM=PM-OD=
DQ=OM=2,DP=DA=k,
在Rt△DQP中, .
∴.
②.
“点睛”此题是二次函数综合题,主要考查了二次函数解析式的确定,平面坐标系中求线段的长,等腰三角形的性质,确定出函数解析式是解本题的关键. 解(3)是本题的难点.
【题目】某校准备去楠溪江某景点春游,旅行社面向学生推出的收费标准如下:
人数m | 0<m≤100 | 100<m≤200 | m>200 |
收费标准(元/人) | 90 | 80 | 70 |
已知该校七年级参加春游学生人数多于100人,八年级参加春游学生人数少于100人.经核算,若两个年级分别组团共需花费17700元,若两个年级联合组团只需花费14700元.
(1)两个年级参加春游学生人数之和超过200人吗?为什么?
(2)两个年级参加春游学生各有多少人?