Question

已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：首先根据题意画出图形，利用正弦定理表达出三角形的面积，再确定当角为多少度时三角形面积取得最大值．

解答：解：由正弦定理得：BQ=2cosB，CQ=2cosC，
由上可推出BC=2（cosB+cosC），
AB=BC

sinC

sinA

，AC=BC

sinB

sinA

，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×AC×sinA，
∵三边固定，当面积最大时，sinA=1，∠A=90°，
又∠APR=∠ARP=∠QPR=∠QRP
所以△APR相似于△QPR
因为PR边公用，所以AP=AR=QP=QR=1
AB=AC=2，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×AC×sinA=2．

点评：本题考查了函数的最值及全等三角形的性质，难度较大，关键利用正弦定理表达出面积，由已知条件求出三角形边长．