Question

如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B、已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA²+PB²+PM²＞28是否总成立？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将B点坐标代入求解即可；
（2）由于M在抛物线的图象上，根据（1）所得抛物线的解析式即可得到关于m、n的关系式：n=

4

9

（m-3）²，由于m、n同为正整数，因此m-3应该是3的倍数，即m应该取3的倍数，可据此求出m、n的值，再根据“以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数”将不合题意的解舍去，即可得到M点的坐标；
（3）设出P点的坐标，然后分别表示出PA²、PB²、PM²的长，进而可求出关于PA²+PB²+PM²与P点纵坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PA²+PB²+PM²的最大（小）值，进而可判断出所求的结论是否恒成立．

解答：解：（1）设y=a（x-3）²，
把B（0，4）代入，
得a=

4

9

，
∴y=

4

9

（x-3）²；

（2）解法一：
∵四边形OAMB的四边长是四个连续的正整数，其中有3、4，
∴可能的情况有三种：1、2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6，
∵M点位于对称轴右侧，且m，n为正整数，
∴m是大于或等于4的正整数，
∴MB≥4，
∵AO=3，OB=4，
∴MB只有两种可能，∴MB=5或MB=6，
当m=4时，n=

4

9

（4-3）²=

4

9

（不是整数，舍去）；
当m=5时，n=

16

9

（不是整数，舍去）；
当m=6时，n=4，MB=6；
当m≥7时，MB＞6；
因此，只有一种可能，即当点M的坐标为（6，4）时，MB=6，MA=5，
四边形OAMB的四条边长分别为3、4、5、6．
解法二：
∵m，n为正整数，n=

4

9

（m-3）²，
∴（m-3）²应该是9的倍数，
∴m是3的倍数，
又∵m＞3，
∴m=6，9，12，
当m=6时，n=4，
此时，MA=5，MB=6，
∴当m≥9时，MB＞6，
∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数，
∴点M的坐标只有一种可能（6，4）．

（3）设P（3，t），MB与对称轴交点为D，
则PA=|t|，PD=|4-t|，PM²=PB²=（4-t）²+9，
∴PA²+PB²+PM²=t²+2[（4-t）²+9]
=3t²-16t+50
=3（t-

8

3

）²+

86

3

，
∴当t=

8

3

时，PA²+PB²+PM²有最小值

86

3

；
∴PA²+PB²+PM²＞28总是成立．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及二次函数最值的应用，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．