Question

已知：如图，图1是△ABC，图2是“8字形”（将线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB形成的图形），图3是一个五角星形状，试解答下列问题：

（1）图1的△ABC中，∠A+∠B+∠C=

180°

，并证明你写出的结论；（要有推理证明过程）
（2）图2的“8字形”中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：

∠A+∠D=∠C+∠B

；
（3）若在图2的条件下，作∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N（如图4）．请直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系：

∠P=

1

2

（∠D+∠B）

；
（4）图3中的点A向下移到线段BE上时，请直接写出∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=

180°

．

Answer 1

分析：（1）先过A点作EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，再根据∠EAB+∠A+∠CAF=180°，即可证出∠A+∠B+∠C的度数；
（2）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（3）根据角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根据对顶角的性质，得出∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，即可得出∠D-∠P=∠P-∠B，最后进行整理即可．
（4）根据两个内角之和等于和它不相邻的一个外角得出∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，再根据三角形内角和定理，即可得出答案．

解答：解：（1）过A点作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，
∵∠EAB+∠A+∠CAF=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°；

（2）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
又∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（3）∵AP、CP是∠DAB、∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠D-∠P=∠P-∠B，
∴∠P=

1

2

（∠D+∠B）；


（4）∵∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，
又∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
故答案为：180°，∠A+∠D=∠C+∠B，∠P=

1

2

（∠D+∠B），180°．

点评：此题考查了三角形内角和定理和三角形的外交的性质，掌握三角形的内角和定理以及角平分线的定义以及三角形的外交的性质是本题的关键．