题目内容

（2013•盐城）阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．
解决问题
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出
BFCD
的值（用含α的式子表示出来）
分析：（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；
（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为
3
3
；
（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan
α
2
．
解答：解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
OB=OC
∠BOF=∠COD
OF=OD

∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．

（2）答：（1）中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴
OB
OC
=tan30°=
3
3
，∠BOC=90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴
OF
OD
=tan30°=
3
3
，∠DOF=90°．
∴
OB
OC
=
OF
OD
=
3
3
．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵
OB
OC
=
OF
OD
=
3
3
，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴
BF
CD
=
3
3
．

（3）如答图④所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，
∴
OB
OC
=tan
α
2
，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，
∴
OF
OD
=tan
α
2
，∠DOF=90°．
∴
OB
OC
=
OF
OD
=tan
α
2
．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵
OB
OC
=
OF
OD
=tan
α
2
，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴
BF
CD
=tan
α
2
．
点评：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．
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