Question

如图，Rt△ABC与Rt△A′B′C′不相似，∠ACB=∠A′C′B′=90°，∠ACD=∠A′
（1）请在线段A′B′找一点D′，使△A′D′C′∽△CDA，作图，并证明．
（2）此时，以点C、点D、点B为顶点的三角形与以点C′、点D′、点B′为顶点的三角形相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，作∠A′C′D′=∠A交A′B′于点D′，点D′即为所要找的点．
理由：∵∠A′=∠ACD，∠A′C′D′=∠A，
∴△A′D′C′∽△CDA；

（2）两三角形相似．理由如下：
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠A′+∠B′=90°，
∵∠A′=∠ACD，
∴∠DCB=∠B′，
同理可得∠B=∠D′C′B′，
∴△DCB∽△D′C′B′
分析：（1）作∠A′C′D′=∠A交A′B′于点D′，点D′即为所要找的点，由∠ACD=∠A′，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△A′D′C′∽△CDA；
（2）由∠ACB=∠A′C′B′=90°，易证得∠DCB=∠B′与∠B=∠D′C′B′，然后根据有两角对应相等的三角形相似，证得△DCB∽△D′C′B′．
点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，解题的关键是注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用，注意数形结合思想的应用．