Question

如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．
已知在相同时间内，若BQ="x" cm()，则AP="2x" cm，CM="3x" cm，DN="x2" cm．

（1）当x为何值时，以P、N两点重合？
（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由。
（3）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形。

Answer 1

（1）时点P与点N重合
（2）点Q与点M不能重合，理由略
（3）当x=2或x=-3+时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形

解：（1）当点P与点N重合时，
由，得（舍去）
所以时点P与点N重合              2分
（2） 当点Q与点M重合时，
由，得----------3分
此时，不符合题意．
故点Q与点M不能重合．---------4分
（3）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧，
① 当点P在点N的左侧时，
由，
解得．
当x=2时四边形PQMN是平行四边形．       6分
② 当点P在点N的右侧时，
由， 
解得（舍去）．
当x=-3+时四边形NQMP是平行四边形．      8分
综上：当x=2或x=-3+时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．