Question

如图，AB是⊙O的直径，过B点作⊙O的切线，交弦AE的延长线于点C，作OD⊥AC，垂足为D，若∠ACB=60°，BC=4，则DE的长为________．

Answer 1

3
分析：根据切线性质推出∠ABC=90°，求出∠A=30°，求出AC=2BC，AO=2OD，求出AC，根据勾股定理求出AB，求出OA、OD，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理求出AD=DE即可．
解答：∵BC切⊙O于B，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AC=2BC=8，
由勾股定理得：AB==4，
∴OA=AB=2，
∵OD⊥AE，
∴∠ADO=90°，
∴OD=OA=，
在△ADO中，由勾股定理得：AD=3，
∵OD⊥AE，OD过圆心O，
∴AD=DE=3，（垂径定理）
故答案为：3．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形性质，圆的切线性质等知识点的运用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，但题型较好．