题目内容
定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]
【提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-
，顶点坐标是（-
，
）】．
【答案】分析：（1）利用b2=ac即b2-ac=0的抛物线为黄金抛物线；
（2）根据题意得到b2=ac，然后结合根的判别式即可求得其根的判别式，根据判别式得到抛物线与x轴的交点情况即可．
（3）根据抛物线的平移规律即可得到平移后的抛物线的解析式，然后利用等腰三角形的性质即可得到使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等的点P的坐标．
解答：解：（1）答：如y=x2，y=x2-x+1，y=x2+2x+4等；（3分）
（2）依题意得b2=ac
∴△=b2-4ac（4分）
=b2-4b2
=-3b2，（5分）
∴当b=0时，△=0，此时抛物线与x轴有一个公共点（6分）
当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点（7分）
（3）答：①新抛物线的解析式为y=2x2-2x-1（9分）
②存在（10分）
有四个符合条件的点P的坐标：（0，-1），（1，-1），（-
，
），（
，
）（14分，答对一个给1分）
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
（2）根据题意得到b2=ac，然后结合根的判别式即可求得其根的判别式，根据判别式得到抛物线与x轴的交点情况即可．
（3）根据抛物线的平移规律即可得到平移后的抛物线的解析式，然后利用等腰三角形的性质即可得到使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等的点P的坐标．
解答：解：（1）答：如y=x2，y=x2-x+1，y=x2+2x+4等；（3分）
（2）依题意得b2=ac
∴△=b2-4ac（4分）
=b2-4b2
=-3b2，（5分）∴当b=0时，△=0，此时抛物线与x轴有一个公共点（6分）
当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点（7分）
（3）答：①新抛物线的解析式为y=2x2-2x-1（9分）
②存在（10分）
有四个符合条件的点P的坐标：（0，-1），（1，-1），（-
，），（，）（14分，答对一个给1分）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
练习册系列答案
小学教材全测系列答案
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，
）】．
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