Question

【题目】若变量z是变量y的函数，同时变量y是变量x的函数，那么我们把变量z叫做变量x的“迭代函数”.

例如：z2y3，yx1，则z2x132x1，那么z2x1就是z与x之间的“迭代函数”解析式.

（1）当2006x2020时，zy2，，请求出z与x之间的“迭代函数”的解析式及z的最小值；

（2）若z2ya，yax24axba0，当1x3时，“迭代函数”z的取值范围为1z17，求a和b的值；

（3）已知一次函数yax1经过点1,2，zay2b2ycb4（其中a、b、c均为常数），聪明的你们一定知道“迭代函数”z是x的二次函数，若x1、x2（x1x2）是“迭代函数”z3的两个根，点x3,2是“迭代函数”z的顶点，而且x1、x2、x3还是一个直角三角形的三条边长，请破解“迭代函数”z关于x的函数解析式.

Answer 1

【答案】（1）z= -x+6；-1004；（2）或；（3）

【解析】

（1）把代入zy2中化简即可得出答案；

（2）把yax24axba0代入z2ya整理得z=2a(x-2) 2-7a+2b,再分两种情况讨论，分别得方程组和，求解即可得；

（3）把（1，2）代入y=ax+1解得a=1，得出y=x+1，再将y=x+1代入z=ay2+（b-2）y+c-b+4得，根据点x3,2是“迭代函数”z的顶点得出，再根据当z=3时， 解得，又x1、x2、x3是一个直角三角形的三条边长得，代入解得b=-8,c=15,从而得解。

解：（1）把代入zy2中得：

z（）2= -x+6

∵-＜0，

∴z随着x的增大而减小，

∵2006 x2020 ，

∴当x=2020时，z有最小值，最小值为z= -×2020+6=-1004

故答案为：z= -x+6；-1004

（2）把yax24axba0代入z2ya，得

z2（ax24axb）a

=2ax28axba，

=2a(x-2) 2-7a+2b

这是一个二次函数，图象的对称轴是直线x=2，

当a＞0时，由函数图象的性质可得x=-1时，z=17;x=3时，z=-1;

∴

解得

当a＜0时，由函数图象的性质可得x=-1时，z=-1;x=3时，z=17;

∴

解得

综上，或

（3）把（1，2）代入y=ax+1得a+1=2

解得a=1

∴y=x+1

把y=x+1代入z=ay2+（b-2）y+c-b+4并整理得

∵点x3,2是“迭代函数”z的顶点,

整理得

当z=3时，

解得

又∵x1x2

∴x1 x3x2

又∵x1、x2、x3还是一个直角三角形的三条边长

∴

即

解得

∴

把代入

解得c=15

∴

故答案为：